Évolution de la quantité de médicament dans le sang

Problème adapté de la banque nationale de sujets https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns
Pour son traitement, on injecte à un malade une dose de \(4\) mg d'un médicament par voie intraveineuse. La quantité de ce médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient est modélisée par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~; +\infty[\) par \(f(t)=4~\times0{,}93^t\) où \(t\) désigne le temps écoulé, exprimé en heures depuis l'injection.

1. Calculer la quantité de médicament dans le sang du patient au bout de \(5\) heures et \(30\) minutes. Arrondir la valeur au centième.
2. On admet que la fonction \(f\) a le même sens de variation que la fonction \(g\) définie sur \([0~; +\infty[\) par \(g(t)=0{,}93^t\). Déterminer le sens de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~; +\infty[\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. On donne la courbe représentative de la fonction \(f\). Avec la précision permise par le graphique, déterminer le temps nécessaire pour que la quantité de médicament dans le sang soit divisée par \(2\). ​​​​​​

4. Le patient recevra une deuxième injection lorsque la quantité du médicament présent dans son sang sera inférieure à \(0{,}5\) mg.
    a. Résoudre l'inéquation \(4~\times0{,}93^t<0{,}5\).
    b. En déduire au bout de combien de temps le patient recevra la deuxième injection. On donnera le résultat arrondi à \(0{,}1\) près, puis on le convertira en heures et minutes.